Symetrické matice: kolmé osy a kvadratické formy
Symetrická matice (A = Aᵀ) vypadá jako zvláštní případ, který si nezaslouží kapitolu. Ve skutečnosti jsou skoro všechny matice, na které se v technice narazí, symetrické — setrvačnost, tuhost, kovariance, tenzor napětí, Hessián. A platí pro ně věta, která je tak silná, že se z ní stane hlavní nástroj.
Obě části jsou překvapivé. Kapitola 8 skončila u toho, že vlastní čísla klidně můžou vyjít komplexní; u symetrické matice se to nikdy nestane. A kolmost není náhoda ani volba — plyne ze symetrie a platí vždycky.
Spektrální rozklad
Čte se to jako recept: Qᵀ otočí do soustavy hlavních os, Λ v ní jen natáhne každou osu zvlášť, Q otočí zpátky. Symetrická matice tedy vůbec nic nezkosí — ve správně natočené soustavě je to čisté natažení, nic víc.
Kvadratické formy: k čemu to je
Tenhle výraz se objevuje všude, kde se počítá energie, chyba nebo nejistota. Vrstevnice q(x) = 1 je elipsa a její osy jsou vlastní vektory; poloosy jsou 1/√λ. Podle znamének vlastních čísel se forma dělí na:
| vlastní čísla | forma | vrstevnice | kde to potkáte |
|---|---|---|---|
| všechna > 0 | pozitivně definitní | elipsa | minimum, kladná energie |
| všechna < 0 | negativně definitní | elipsa | maximum |
| různá znaménka | indefinitní | hyperbola | sedlo — ani minimum, ani maximum |
| některé = 0 | semidefinitní | zdegenerovaná | plochý směr, nejednoznačnost |
Prostřední řádek je ten důležitý. V OptiLabu je Hessián symetrická matice a rozhoduje o tom, jestli metoda dorazila do minima, nebo se zastavila na sedle — což je bod, kde je gradient nulový a přitom to řešení není. Rozpozná se to právě znaménky vlastních čísel, a nijak jinak.
Kovarianční elipsa. Ve FilterLabu je kovarianční matice symetrická a pozitivně semidefinitní; její vlastní vektory jsou směry, ve kterých je odhad nejjistější a nejméně jistý, a odmocniny vlastních čísel jsou příslušné směrodatné odchylky. Ta elipsa v obrázku výše je přesně ta, kterou Kalmanův filtr kreslí kolem odhadu.
Proč to solver počítá Jacobiho metodou
Symetrický případ má vlastní algoritmus — cyklickou Jacobiho rotaci — a je krátký, vždycky konverguje a vydá vlastní vektory kolmé na úroveň strojové přesnosti bez dalšího kroku. To je taky důvod, proč tahle labka umí symetrické matice libovolného rozměru, zatímco nesymetrické jen 2×2: pro symetrické existuje poctivé krátké řešení, pro obecné ne.