Hodnost, jádro a obraz — a věta, která je spojuje
Determinant řekne, jestli se zobrazení zhroutilo. Neřekne jak moc — u matice 5×5 je nula stejná nula, ať se ztratil jeden rozměr nebo čtyři. Na to jsou tři pojmy, které to popíšou přesně.
- Obraz (sloupcový prostor) — kam všude se dá dostat. Je to obal sloupců, tedy přesně to, na co se ptala kapitola 4.
- Hodnost — kolik rozměrů ten obraz má.
- Jádro (nulový prostor) — které vektory zobrazení pošle na nulu. Přesně ty směry, které se ztratily.
Věta o hodnosti a defektu
Čte se to jako účetnictví: n sloupců je n vstupních rozměrů; každý buď někam dorazí (přispěje do hodnosti), nebo se cestou ztratí (přispěje do jádra). Třetí možnost není.
Pozor na sloupců, ne řádků — je to nejčastější chyba v celé kapitole. U matice 2×5 může být hodnost nejvýš 2, ale sloupců je pět, takže jádro má aspoň tři rozměry. Věta o tom mluví vždycky ze strany vstupu.
Hodnost řádků a hodnost sloupců jsou stejné číslo. Není to samozřejmé — jedna se počítá z řádků, druhá ze sloupců, a nic dopředu neříká, že by měly vyjít stejně. Přesto vyjdou, u každé matice. Je to jedna z prvních vět, u kterých lineární algebra přestává být počítání a začíná být zajímavá.
Proč to zajímá robotiku
Sloupce Jakobiánu jsou směry, kterými se rozjede chapadlo, když se pohne příslušný kloub:
- Hodnost = počet směrů, kterými se v dané poloze vůbec dá jet. Plná hodnost znamená, že jde jet kamkoli; nižší je singularita.
- Jádro = kombinace rychlostí kloubů, při kterých se chapadlo nepohne vůbec. U redundantního ramene (7 kloubů, 6 rozměrů úlohy) je jádro minimálně jednorozměrné, a to je vlastnost, ne vada: rameno se může přeskládat kolem nehybného nástroje, třeba aby obešlo překážku.
Viz KineLab a ParallelLab, kde ta druhá labka ukazuje singularitu, která leží uvnitř pracovního prostoru.
Hodnost se v plovoucí čárce nedá spočítat přesně. Je to celé číslo odvozené ze spojitých dat: matice, jejíž nejmenší singulární hodnota je 10⁻¹⁵, má formálně plnou hodnost a prakticky ne. Solver v téhle labce počítá hodnost dvěma nezávislými cestami — z Gaussovy eliminace a ze singulárních hodnot — a testy hlídají, že se shodnou. Práh je relativní, takže přeškálování matice o šest řádů hodnost nezmění; to je pin, který má vlastní test.