Matice není tabulka čísel — je to zobrazení
Skoro každý kurz zavede matici jako obdélník čísel a hned nato předvede pravidlo, jak se násobí: řádek krát sloupec, sečíst. Kdo se zeptá „proč zrovna takhle?“, dostane obvykle odpověď „protože to tak je definované“. To je pravda a je to k ničemu.
Celá tahle labka stojí na jedné jediné větě:
Z toho plyne úplně všechno ostatní — proč se násobí právě takhle, proč na pořadí záleží, proč je determinant zajímavý, co jsou vlastní vektory a proč je SVD tak užitečná. Nic z toho se nemusí pamatovat zvlášť.
- A = [a b; c d] — a co s tím?
Matice se skoro všude zavádí jako tabulka čísel. Tím se nedá vysvětlit vůbec nic — proč se násobí zrovna takhle, proč nezáleží na pořadí, proč je determinant zajímavý. Matice je zobrazení: sežere vektor a vrátí jiný.
- A · (1, 0) = (1,4, 0,5)
Dej jí první bázový vektor x̂ = (1, 0). Odpověď je přesně první sloupec matice. Vynásob si to ručně — jednička vybere první sloupec a nula zahodí druhý.
- A · (0, 1) = (0,8, 1,3)
Totéž s ŷ = (0, 1): vypadne druhý sloupec. Tohle není náhoda ani trik zápisu.
- A = [ A·x̂ | A·ŷ ]
Matici nemusíte číst jako tabulku. Stačí vědět, kam poslala bázové vektory — a to je celá matice, zapsaná do sloupců. Odsud plyne úplně všechno ostatní v téhle labce.
- A · (x, y) = x·sloupec 1 + y·sloupec 2
Každý vektor je lineární kombinace x̂ a ŷ — a zobrazení je lineární, takže obraz je táž kombinace obrazů. Násobení maticí není nic jiného než tohle: vážený součet sloupců.
- A přeohne celou rovinu
Když se to udělá se všemi body naráz, zdeformuje se celá mřížka. Přímky zůstanou přímkami a počátek zůstane na místě — to jsou přesně ty dvě vlastnosti, kterým se říká linearita. Tenhle obrázek je celý zbytek téhle labky.
Sloupce jsou obrazy bázových vektorů
Nakrmte matici vektorem x̂ = (1, 0) a vypadne první sloupec. Nakrmte ji ŷ = (0, 1) a vypadne druhý. Není to náhoda — jednička vybere sloupec a nula ho zahodí.
To znamená, že matici nemusíte číst jako tabulku. Stačí vědět, kam poslala bázové vektory, a je tím celá popsaná. A protože je zobrazení lineární, obraz libovolného vektoru je táž kombinace sloupců, jaká byl ten vektor kombinací báze:
Tohle je jediný pohled na násobení matice vektorem, který stojí za zapamatování. Pravidlo „řádek krát sloupec“ dává tatáž čísla a nic neříká.
Zkus s tím pohnout
V tomhle jediném obrázku už je vidět všechno, čemu se budou věnovat další kapitoly:
- Jednotkový čtverec se změní v rovnoběžník a jeho obsah je |det A| — kapitola 3.
- Když se oba sloupce položí na jednu přímku, rovina se zhroutí do přímky, determinant je nula a hodnost klesne na jedna — kapitoly 3 a 6.
- Při záporném determinantu se rovina převrátí jako v zrcadle.
- Mřížka zůstane mřížkou: přímky zůstávají přímkami, rovnoběžky rovnoběžkami a počátek na místě. To jsou přesně ty dvě vlastnosti, kterým se říká linearita.
Co matice naopak neumí. Počátek zůstává na místě
vždycky — A·0 = 0 pro každou matici. Posunout něco tedy maticí samotnou
nejde, a to je zásadní praktický problém: robotická transformace potřebuje otočit
i posunout. Řeší se to trikem, který přidá jeden rozměr navíc — homogenní
souřadnice, a je to celá další labka téhle tratě.
Rozměry a co se s čím smí
Matice m × n má m řádků a n sloupců a zobrazuje vektory z n-rozměrného prostoru do m-rozměrného. Pořadí písmen je matoucí přesně naopak, než by člověk čekal, a stojí za to si to jednou pořádně přebrat: n sloupců znamená n bázových vektorů na vstupu, každý sloupec je jejich obraz, a ten obraz má m složek.
Nesedící rozměry nejsou technická drobnost — znamenají, že se skládá zobrazení, jejichž výstup a vstup jsou v jiných prostorech, což nedává smysl.