Násobení je skládání — proto na pořadí záleží
Pravidlo „řádek krát sloupec“ se dá naučit za pět minut a nevysvětluje nic. Význam je jednoduchý:
Čte se to zprava doleva, což zpočátku zlobí. Důvod je ale poctivý: zápis
A(B(v)) má vektor napravo, takže nejblíž vektoru je to, co se stane
první. Když se závorky vypustí, pořadí zůstane.
- S — zkos, R — otočení
Dvě zobrazení, obě z kapitoly 1. Otázka téhle kapitoly: co znamená součin dvou matic a proč se počítá tak podivně.
- S · (jednotkový čtverec)
Pusťme na jednotkový čtverec nejdřív zkos. Vznikne šikmý rovnoběžník.
- R·S = nejdřív S, pak R
Na výsledek pusťme otočení. Tomuhle „nejdřív S, pak R“ se říká R·S — a všimněte si, že se to čte zprava doleva. Je to proto, že
R(S(v))se píše zprava: nejblíž vektoru je to, co se dělá první. - R · (jednotkový čtverec)
Táž dvě zobrazení, opačné pořadí. Nejdřív otočíme čtverec.
- S·R = nejdřív R, pak S
Zkos přijde až teď. Výsledek je jiný rovnoběžník — a to je celý obsah téhle kapitoly.
- R·S ≠ S·R
Násobení matic není komutativní, a není to zvláštnost zápisu — je to fakt o skládání. Ponožky a pak boty není totéž co boty a pak ponožky. Obsah obou rovnoběžníků je ale stejný: determinant se násobí, a násobení čísel komutativní je.
Proč to vede zrovna na „řádek krát sloupec“
Z kapitoly 1: sloupce matice jsou obrazy bázových vektorů. Sloupce součinu A·B tedy musí být obrazy bázových vektorů po obou zobrazeních — tedy A·(j-tý sloupec B). A jelikož je násobení maticí vážený součet jejích sloupců, vyjde přesně to pravidlo, které se učí nazpaměť:
Není to definice vytažená z klobouku. Je to jediný způsob, jak zapsat „udělej B, potom A“ ve složkách.
Co platí a co ne
| vlastnost | platí? | proč |
|---|---|---|
| A(BC) = (AB)C | ano | „udělej C, pak B, pak A“ — závorky pořadí nemění |
| A(B+C) = AB + AC | ano | zobrazení je lineární |
| AB = BA | ne | jiné pořadí = jiné zobrazení |
| (AB)ᵀ = BᵀAᵀ | ano, s obráceným pořadím | klasický zdroj chyb |
| AB = 0 ⇒ A = 0 nebo B = 0 | ne | dvě nenulová zobrazení můžou složit nulu |
Poslední řádek překvapí každého, kdo je zvyklý na čísla. Stačí, aby B zmáčklo všechno do přímky a A pak tu přímku zmáčklo do nuly — obě matice jsou nenulové a součin je nulová matice. S čísly se to stát nemůže, s zobrazeními ano, protože zobrazení umí zahazovat rozměry.