Inverze: zobrazení, které to vrátí
Matice A odnese každý vektor někam jinam. Inverzní matice je zobrazení, které ho odnese zpátky — a to ne pro jeden vybraný vektor, ale pro všechny naráz.
- v → A·v
Zobrazení A vezme bod a odnese ho jinam. Celá mřížka se přitom zdeformuje — kapitola 1.
- hledáme B tak, že B·A·v = v
Otázka téhle kapitoly: existuje zobrazení, které to vrátí? A to ne pro jeden bod — pro všechny naráz.
- A⁻¹·A = I
Když takové zobrazení existuje, jmenuje se inverze a jejich složení je identita — zobrazení, které nedělá nic. Deformovaná mřížka se srovná zpátky na čtverečky.
- det A⁻¹ = 1 / det A = 0,611
Když A obsahy třikrát zvětší, A⁻¹ je musí třikrát zmenšit. Odsud
det(A⁻¹) = 1/det(A)— a taky první náznak toho, kde bude problém. - det A → 0 ⟹ A⁻¹ → ∞ (κ = 1,5)
Táhni druhý sloupec k prvnímu. Determinant klesá, a protože se jím dělí, čísla v inverzi rostou nade všechny meze. Dlouho předtím, než determinant dojde na nulu, je už inverze prakticky nepoužitelná — o tom je kapitola 11.
- dva různé body → jeden obraz ⟹ žádná inverze
Ve zhroucené poloze pošle A dva různé body na totéž místo. Žádné zobrazení je neumí rozplést zpátky — nemá podle čeho. Tohle je ten skutečný důvod, proč singulární matice inverzi nemá; „dělí se nulou" je jen jak se to projeví ve vzorci.
Kdy existuje
Právě tehdy, když je matice čtvercová a její determinant je nenulový. Ta druhá podmínka je jenom jinak řečené „zobrazení nic nezahodilo“: z kapitoly 3 víme, že nulový determinant znamená zhroucení do nižšího rozměru, a rozměr, který zmizel, nejde vyrobit zpátky.
Obvyklé vysvětlení — „ve vzorci se dělí determinantem, takže nula nejde“ — je popis symptomu. Skutečný důvod je, že zhroucené zobrazení pošle dva různé body na totéž místo, a žádné zobrazení už nemá podle čeho je rozlišit.
Jak se počítá
Pro 2×2 existuje vzorec, který stojí za zapamatování, protože se objevuje všude:
Pro větší matice se používá Gauss-Jordanova eliminace: vedle A se postaví jednotková matice, A se řádkovými úpravami převede na jednotkovou, a totéž, co se dělo vlevo, udělá vpravo z jednotkové matice inverzi. Kalkulačka to ukazuje krok po kroku.
Adjungovaná matice a Cramerovo pravidlo jsou pěkné na papíře a nepoužitelné v praxi: pro n×n potřebují n² determinantů o rozměru n−1, takže cena roste jako n!. Pro 3×3 se to ještě dá napsat ručně, pro 10×10 by to trvalo déle než všechno ostatní na světě. Gauss stojí n³ a je to jediné, co se v kódu doopravdy používá.
Dlouho před nulou už je zle
Inverze se počítá dělením determinantem, takže když se determinant blíží nule, čísla v inverzi rostou nade všechny meze. To znamená, že i malá chyba ve vstupu se zněkolikanásobí — a matice, která je „skoro singulární“, je v praxi stejně nepoužitelná jako ta doopravdy singulární, jen o tom nikde nekřičí.
Přesně na tohle je číslo podmíněnosti z kapitoly 11. Táhni v obrázku výše druhým sloupcem k prvnímu a dívej se na κ dřív, než determinant dojde na nulu.
Pravidla, která se pletou
Dává to smysl: když se nejdřív obuly ponožky a pak boty, zouvá se v opačném pořadí. A dvě další, která platí bez výhrad: (A⁻¹)⁻¹ = A a (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ.