Taylor: funkce jako polynom — ale jen kousek
Tečna je nejlepší přímka. Napadne otázka: co nejlepší parabola? Nejlepší kubika? Odpověď je Taylorův polynom a je to jeden z nejužitečnějších nástrojů v numerice.
f(x) ≈ f(a) + f′(a)(x−a) + f″(a)(x−a)²/2 + f‴(a)(x−a)³/6 + …Taylorův polynom v bodě a
Každý člen opravuje předchozí: nultý dá hodnotu, první sklon, druhý zakřivení. Dělení faktoriálem je tam proto, aby k-tá derivace polynomu v bodě a vyšla přesně jako k-tá derivace funkce.
Polynom se funkce drží jen v okolí středu — a zvýšení stupně to okolí rozšíří, ne zachrání všude. Posuň střed a sleduj, jak se pásmo stěhuje s ním.
Kde se to používá
- Linearizace. Zahodit všechno kromě prvních dvou členů znamená nahradit soustavu lineární — a to je základ celé lineární teorie řízení. Model kolem pracovního bodu v ControlLabu je Taylor prvního řádu.
- Newtonova metoda (kapitola 9) je Taylor prvního řádu položený nule.
- Numerické vzorce. Centrální diference z kapitoly 3 se odvodí odečtením dvou Taylorových rozvojů — a hned je vidět, proč je druhého řádu: liché členy se odečtou.
- Malé úhly. sin x ≈ x, cos x ≈ 1 − x²/2. Odsud „pro malé úhly“ v celé mechanice.
„Blízko" je vágní a je to podstatné. Taylorův polynom je dobrý jen v okolí středu a jak velké to okolí je, závisí na funkci i na stupni. U exponenciály je obrovské, u 1/(1+x²) kolem nuly končí přesně v ±1 — a to bez jakéhokoli viditelného důvodu na reálné ose. (Důvod je v komplexní rovině: pól v ±i. Viz ComplexLab.) Proto je v obrázku ten změřený pruh: „blízko" má číslo.