Pravidla — a to jediné, které je opravdu potřeba
Derivace se z definice počítá jednou, na střední škole. Pak už se používají pravidla, protože jsou rychlejší a nedá se v nich udělat chyba, kterou by nešlo zkontrolovat.
Linearita je důvod, proč derivace patří do téhle tratě: je to lineární zobrazení, a všechno z MatrixLabu na ni sedí. Součet zderivuješ po členech, konstanta prolétne ven.
Součin není součin derivací a je to nejčastější omyl. Zkouška je snadná: (x·x)′ je 2x, kdežto x′·x′ = 1. Kdo si to jednou spočítá, už to nesplete.
Řetízkové pravidlo — to jediné důležité
Zvenku dovnitř: zderivuj vnější funkci a nech v ní vnitřek, pak přinásob derivaci vnitřku. Čte se to jako převodovka: když se vnitřek mění třikrát rychleji než x a vnější funkce reaguje dvakrát rychleji než vnitřek, celek se mění šestkrát rychleji.
Tohle jediné pravidlo je základ zpětného šíření v neuronových sítích, základ Jakobiánu složeného řetězu v robotice a základ substituce v integrálech. Zbytek pravidel se dá odvodit; tohle je potřeba umět.
| funkce | derivace |
|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
| tan x | 1/cos²x |
Proč zrovna e. Číslo e není zvolené pro krásu — je to jediný základ, u kterého platí (eˣ)′ = eˣ. Odsud plyne, že řešení rovnice „rychlost změny je úměrná stavu“ je exponenciála, a to je zase důvod, proč se exponenciála objeví v každé lineární soustavě: nabíjení kondenzátoru, chladnutí, doznívání regulační smyčky. Viz ControlLab.