Derivace je směrnice — a nejlepší přímka
Derivace se dá číst dvěma způsoby a oba se hodí. První je ten školní: jak strmá je křivka v daném bodě. Druhý je praktičtější a v celé téhle trati užitečnější: nejlepší přímková náhrada funkce v okolí bodu.
- spojnice bodů x a x+h
Spojíme dva body na křivce. Ta přímka se jmenuje sečna a její směrnice je něco, co spočítat umíme: o kolik nahoru děleno o kolik doprava.
- Δf / h = 0,4349
To je průměrná rychlost změny na tom úseku. Zajímá nás ale okamžitá — jak strmá je křivka v tom jednom bodě, ne v průměru přes kus.
- h → 0
Přisuneme druhý bod blíž. Sečna se stáčí a její směrnice se ustaluje na nějaké hodnotě. Ta hodnota je derivace.
- f′(x) = lim_{h→0} (f(x+h) − f(x)) / h
Přesně v h = 0 ten zlomek spočítat nejde — vyjde 0/0. Limita je způsob, jak se ptát „kam to míří“, aniž bychom tam dosadili.
- f′(0,6) = 0,8253
Přímka s touhle směrnicí je tečna. A tady je ten druhý, praktičtější pohled na derivaci: je to nejlepší přímková náhrada funkce v okolí bodu. Odsud vede přímá cesta k Taylorovi i k Newtonovi.
Ten zlomek se v h = 0 spočítat nedá — vyjde 0/0. Limita je způsob, jak se zeptat „kam to míří“, aniž bychom tam dosadili, a je to jediné místo v téhle labce, kde se opravdu potřebuje.
Značení, které se plete
| zápis | čte se | hodí se, když |
|---|---|---|
| f′(x) | „f čárka od x“ | je jasné, podle čeho se derivuje |
| df/dx | „d f podle d x“ | je proměnných víc a je třeba říct která |
| ∂f/∂x | „parciálně podle x“ | ostatní proměnné se drží pevně (kapitola 5) |
| ẋ | „x s tečkou“ | derivuje se podle času — konvence v mechanice |
Proč to inženýra zajímá
Skoro každá věta typu „jak rychle se změní A, když se změní B“ je derivace. Rychlost je derivace polohy, zrychlení derivace rychlosti, indukované napětí derivace magnetického toku, tuhost derivace síly podle posunutí. A v numerice je derivace především návod, kudy jít: gradient řekne směr, Jakobián převede rychlosti kloubů na rychlost nástroje, Hessián pozná minimum od sedla.
Derivace nemusí existovat. Funkce může být spojitá a přesto v nějakém bodě derivaci nemít — |x| v nule je nejmenší příklad. A může existovat a přitom být divoká. Tomu je věnovaná kapitola 10, protože oba případy se v praxi potkávají (dorazy, tření, saturace) a numerická derivace na nich tiše vrátí číslo.