Jakobián: derivace zobrazení
Gradient je derivace funkce, která vrací číslo. Když funkce vrací vektor — třeba poloha chapadla jako funkce tří kloubových úhlů — je derivací matice.
J[i][j] = ∂fᵢ/∂xⱼJakobián: řádek na výstup, sloupec na vstup
Čte se to takhle: sloupec j říká, kterým směrem se pohne výstup, když se hne j-tý vstup. A to je přesně ta věta z MatrixLabu, kapitoly 1 — sloupce matice jsou obrazy bázových vektorů, tady jen aplikovaná na malé změny.
Δf ≈ J · Δxlineární náhrada zobrazení — Taylor prvního řádu ve více rozměrech
Co se z Jakobiánu čte
- Hodnost. Kolika směry se výstup vůbec může hnout. Když klesne, je to singularita — a ta zmizelá dimenze je směr, kterým rameno nedokáže jet, ať motory dělají co chtějí. Viz KineLab.
- Determinant. Kolikrát se změní objem. V integrálech je to ten faktor, který se objeví při substituci — a proto je v polárních souřadnicích to r. Testy v repu to ověřují právě na polárním zobrazení.
- Číslo podmíněnosti. Jak moc se zvětší chyba vstupu — a blízko singularity roste do nebe.
Řetízkové pravidlo ve více rozměrech je součin matic. Derivace složeného zobrazení je J_f · J_g — a pořadí se řídí týmiž pravidly jako u transformací. Odsud plyne Jakobián celého ramene jako součin Jakobiánů článků a taky zpětné šíření v neuronových sítích, což je totéž počítané odzadu.