10. Úhlová rychlost a integrace
Orientace se mění v čase a úhlová rychlost ω je vektor, který ten pohyb popisuje: směr je osa otáčení, velikost je rychlost v rad/s. Vazba na reprezentace:
Ṙ = [ω]× R
q̇ = 12 ω ⊗ qω ve světovém rámci
Obojí je v testech ověřené proti numerické derivaci přesné integrace — ne opsané.
ω není derivace Eulerových úhlů. Tohle je asi nejčastější
skrytá chyba v této oblasti. Derivace roll, pitch a yaw jsou rychlosti kolem tří různých
a navzájem nekolmých os (každá patří jinému mezikroku sekvence), kdežto ω je jeden vektor
v jednom rámci. Vztah mezi nimi je matice, která navíc v gimbal locku singulární —
takže tam, kde selhávají úhly, selže i tenhle přepočet.
Integrace
Při konstantní ω po dobu dt je odpověď přesná a v uzavřeném tvaru: je to rotace kolem osy ω̂ o úhel |ω|·dt. Nemusí se nic aproximovat.
Když se ω mění, integruje se po krocích — a tam se objeví problém, kvůli kterému se to dělá v kvaternionech:
- Matice driftuje z SO(3) a musí se reortonormalizovat.
- Kvaternion driftuje jen v délce a stačí ho vydělit normou. Jedna operace, žádná ztráta.
Proto drží kvaternion každý IMU filtr, každá navigace a každý stavový odhad, který běží hodiny v kuse. V testech: tisíc malých kroků skončí tam, kde jeden velký, na 10⁻⁹.