2. Matice rotace a SO(3)
Matice rotace je devět čísel se šesti vazbami. Ty vazby jsou to podstatné:
První říká, že sloupce jsou navzájem kolmé jednotkové vektory — rotace nemění délky ani úhly. Druhá vylučuje zrcadlení: matice s determinantem −1 je taky ortogonální, ale převrací orientaci prostoru, a to fyzické těleso neumí.
Z první vazby plyne nejužitečnější vlastnost v celé téhle učebnici:
Inverze rotace je její transpozice. Žádné řešení soustavy, žádná determinantová gymnastika — prohodíš řádky se sloupci a máš opačnou rotaci.
Co ty sloupce znamenají
Sloupce R jsou obrazy jednotkových vektorů: první sloupec je to, kam se dostane x̂, druhý kam ŷ, třetí kam ẑ. Když se na matici díváš takhle, je čitelná na první pohled a dá se z ní přečíst orientace tělesa bez počítání.
Drift
Vynásobíš-li tisíce rotací za sebou, zaokrouhlovací chyby se nasčítají a matice přestane být
přesně ortonormální. Přestanou platit vzorce, které na tom stojí — z acos vypadne
NaN, převod na kvaternion vrátí nesmysl. Léčba je levná: občas matici reortonormalizovat
(Gram-Schmidt na sloupce). Nástroj ukazuje, jak moc je od SO(3) daleko, a umí to opravit.