5. Eulerovy úhly a dvanáct konvencí
Tři po sobě jdoucí rotace kolem souřadnicových os. Lidsky čitelné, a proto se používají na vstupu i na výstupu — a proto je kolem nich tolik chyb.
0.527-0.2810.8020.6280.765-0.144-0.5740.5790.579
Každá další rotace je kolem osy tělesa v poloze, kam ho dostaly předchozí — proto „vnitřní". Rezerva ke gimbal locku je 55°, tedy přesně 90° minus pitch.
Kolik jich vlastně je
Sekvencí je dvanáct: šest „Tait-Bryanových“, kde jsou všechny tři osy různé (XYZ, ZYX, …), a šest „vlastních Eulerových“, kde se první a poslední osa opakují (ZYZ, XYX, …). K tomu ×2 za vnitřní/vnější, takže dohromady 24 způsobů, jak zapsat tutéž orientaci třemi čísly. Tvrzení „Eulerovy úhly jsou (30°, 40°, 50°)“ tedy samo o sobě nic neznamená.
Vnitřní versus vnější
- Vnitřní (intrinsic): každá další rotace je kolem osy tělesa v poloze, kam ho dostaly předchozí. Osy se hýbou s tělesem.
- Vnější (extrinsic): všechny rotace jsou kolem pevných os světa.
Nejsou to dva různé světy — jedno je druhé pozpátku:
Rvnitřní(a, b, c; XYZ) = Rvnější(c, b, a; ZYX)ověřeno v testech
Roll-pitch-yaw
To, co používá robotika i letectví, je ZYX vnitřní, ekvivalentně XYZ vnější:
R = Rz(yaw) · Ry(pitch) · Rx(roll)
Všimni si, že se v součinu píše v pořadí z-y-x, ale jmenuje se roll-pitch-yaw, tedy x-y-z. Zdroj nedorozumění sám o sobě.
Jak nástroj získává úhly zpátky. Místo dvanácti opsaných uzavřených
vzorců (dvanáct příležitostí splést znaménko) je tu jedna obecná rutina, ověřená round-tripem
přes hustou mřížku úhlů pro všech dvanáct sekvencí v obou variantách. Když jsem ji psal,
právě takhle se ukázalo, že tři sekvence (XZX, YXY, ZYZ) vracely orientaci o celé π vedle —
znaménko permutace patří jen do druhého argumentu
atan2, ne do obou.